Почти каждый хотя бы раз пытался найти беспроигрышную стратегию в «Камне-ножницах-бумаге» или придумать идеальную расстановку кораблей в «Морском бое». Кажется, что, если достаточно хорошо просчитать ходы противника, можно выигрывать всегда. Но так ли это на самом деле?
Разобраться в этом нам помогает старший преподаватель кафедры теории функций и стохастического анализа СГУ Алексей Дмитриевич Луньков, его материал о теории игр опубликовал Минобрнауки России. А.Д. Луньков уже много лет читает студентам курс теории игр и знает, как математика объясняет наши победы и поражения.
Почему в «Камень-ножницы-бумагу» нельзя выигрывать всегда?
На первый взгляд игра, знакомая с детства, кажется простой. Она и правда проста в сравнении со многими из тех ситуаций, что рассмотрены в теории игр. Всё симметрично, игроки равноправны, и стратегии ничем не отличаются друг от друга. Но на этом примере часто описывают принципы теории игр.
Теория игр – это теория принятия решений в конфликтных ситуациях, или теория, описывающая поиск оптимальной стратегии для каждой из сторон. При этом конфликт не синоним чего-то негативного, это не обязательно ссора. Конфликт – это несовпадение интересов, наличие у каждого своих интересов. Есть как минимум две стороны, у каждой свои стратегии. Для каждого сочетания стратегий игроков известны их выигрыши.
В теории игр не ищется какое-то великое счастье в виде джекпота, миллиона. В этой теории (в большинстве разделов) ищется не более чем точка стабильности применительно к значению функции выигрыша.
В случае с «Камнем-ножницами-бумагой» мы имеем дело с антагонистической игрой: выигрыш одного игрока равен проигрышу другого. В теории игр обычно не оперируют такими терминами как просто "выиграть или" проиграть". Здесь выигрывают или проигрывают какую-то величину, не обязательно денежную. Впрочем, есть и простейшие игры с развилкой вида "проиграл-выиграл". Тогда положительный выигрыш обычно принимают равным единице.
Ставить цель обязательно выиграть – бессмысленно, в смешанных стратегиях реальная цель – выиграть гарантированно как минимум столько-то. И здесь математика ставит жирный крест на надежде найти «волшебную кнопку».
Выиграть гарантированно в "Камень-ножницы-бумагу" в одной конкретной партии – не получится, как и на дистанции. На дистанции, если действовать разумно, можно обеспечить себе средний выигрыш, близкий к нулю. Можно наблюдать конкретно за тем противником, с которым играешь, делать из этого выводы, но это будет уже другая история и, скорее всего, не математическая.
Иными словами, если вы выбираете камень, ножницы или бумагу случайно, но с равными вероятностями (1/3), соперник не сможет к вам приспособиться. Как только вы начнёте отдавать предпочтение «бумаге», противник это заметит и начнёт побеждать «ножницами». Теория игр учит нас: в равноправной игре, где оба игрока разумны, средний выигрыш стремится к нулю.
Смешанные стратегии и равновесие Нэша: в чём секрет стабильности?
Здесь мы подходим к важному понятию в теории игр – смешанной стратегии. В беседе Алексей Дмитриевич чётко разделил чистые и смешанные стратегии.
Есть первоначальные стратегии – они чистые. Предположим, эти стратегии составляют конечное множество. Например, в "Камне-ножницах-бумаге" их три: камень, ножницы, бумага. Но математики быстро установили, что с чистыми стратегиями в большинстве игр ничего путного не сделаешь. Перешли к смешанным, среди них всегда есть оптимальные. Впрочем, чистая стратегия – частный случай смешанной, и чистая может быть оптимальна.
Что же такое смешанная стратегия? Вы не выбираете что-то одно, а рандомизируете свой выбор. Например, 1/8 времени используете камень, 5/8 – ножницы и 2/8 – бумагу. Это не хаос, это математический расчёт.
Например, ты нашёл оптимальную смешанную стратегию, реализуешь именно её, с заданными частотами, используя чистые стратегии. Свою оптимальную стратегию нашёл и противник. Эта пара стратегий оптимальна в том смысле, что является точкой стабильности – от неё невыгодно односторонне отступать. Пара оптимальных стратегий первого и второго игроков составляет седловую точку, а при обсуждении более общего типа игры говорят о равновесии Нэша.
В разговоре о простых играх Алексей Луньков сравнивает равновесие Нэша с набором оптимальных стратегий. Строго говоря, равновесие – более общее понятие, применимое к играм с разным числом участников и разными интересами игроков (не обязательно противоположными) .
При чём тут «Морской бой», экономика и Нобелевская премия?
«Морской бой» – это уже более сложная игра, чем «камень-ножницы-бумага». Игра эта динамическая, и стратегия имеет как минимум две составляющие: куда поставить корабли и куда в тот или иной момент стрелять. Но и здесь теория игр способна дать ответ.
Можно ли расставить корабли максимально выгодно, чтобы противник искал дольше? Я думаю, можно, но если игроки разумные, они будут оба так действовать. И в среднем, грубо говоря, по нулю будут выигрывать. Как, например, в "Камне-ножницах-бумаге" – это классическая симметричная игра с нулевой суммой, где преимущества не получает никто.
Но в морском бое выиграть – это одно, а “дольше протянуть” – это другое. Это две разные цели.
Игроки в морском бою могут быть и не равноправны (если первый начинает раньше). И тогда большие сомнения в том, что средние выигрыши у них совсем не отличаются, что оба выигрыша нулевые. У первого игрока будет преимущество!
В сфере применения теории игр в основном не игры. Политика, социология, экономика. Ты держишь склад и думаешь, сколько и когда закупать товара. Твой невольный противник – это спрос, который то ли будет таким, то ли другим. Для спроса выделяют уже не стратегии, а состояния.
Эксперт приводит в пример задачи распределения ресурсов или даже выбор дороги в стремлении избежать пробок. И здесь кроется ирония судьбы для математиков:
Известно, что нет Нобелевских премий по математике. Но по экономике эту премию получают нередко именно игровики, за соответствующие приложения (например, за теорию аукционов). Сплошь теория игр.
Так можно ли выиграть в «Камень-ножницы-бумагу» или «Морской бой»? Если соперник так же рационален и хорошо понимает игру, как и вы, – нет. Теория игр не обещает универсальной стратегии победы. Она помогает найти оптимальную линию поведения в условиях неопределённости, когда исход зависит не только от ваших действий, но и от решений других участников. Парадоксально, но теория игр – это наука не о том, как победить любой ценой. Это наука о том, как принимать лучшие решения там, где невозможно контролировать всё.
История одного гения: Джон Нэш
Джон Форбс Нэш-младший – американский математик, лауреат Нобелевской премии по экономике 1994 года «за анализ равновесия в теории некооперативных игр».
В 21 год он написал диссертацию о теории игр, описав принцип, перевернувший экономику и военную стратегию. Этот принцип назвали «Равновесие Нэша». Биография учёного легла в основу оскароносного фильма «Игры разума» («A Beautiful Mind»).
Суть проста, но гениальна: это ситуация, в которой каждый участник игры выбрал оптимальную стратегию, и ни одному из них невыгодно менять своё решение в одиночку, даже если ему это кажется выгодным. Потому что изменение одного игрока ухудшит его же положение из-за ответных действий остальных.
Читайте новости Саратовского университета в MAX. Подписывайтесь на канал Минобрнауки России в MAX.
