Первая серия задач

1.1. В 1934 году Малер доказал иррациональность числа

0,1234567891011121314…,

дробную часть которого составляют выписываемые подряд числа натурального ряда. Определите 2014-й десятичный знак этого числа.

1.2. Выбрав из заданного слова некоторое количество букв, можно попытаться составить из них новое слово. Из букв какого слова составлены все слова в каждой из следующих троек?

1. ВОРОНА, БАЗАР, РЕЗИНА;
2. ЖЕНА, ТРЕНИЕ, РОТА;
3. ПОТОП, КАРТОН, ПАРИК;
4. РАСТВОР, ТОПОТ, СОСНА;
5. ПЕПЕЛ, ПРАВДА, ПАЛЬТО.

1.3 (Маршрутное шифрование). Открытый текст построчно вписан в прямоугольную таблицу. Буквы криптограммы извлекаются из таблицы последовательно вдоль некоторого маршрута. Восстановите исходный текст из криптограммы

УИЕИ ЮЙНМОО ОМ ОСММРО
ОЖНББОС ЩЕОТН ИС ИМНОЛАНЮ:
Н ЕЯЬ КСИЕПЗТОВ АМОНЕ –
Т ЕРЬРЯТ ИВИТР ТЬАЬОЬ ФСУРШН (СТ).

Назовите автора этих знаменитых строк и год их создания.

1.4. Дан некоторый набор A натуральных чисел: a₁ < a₂ < … < a_n. Составьте программу, которая для любого не входящего в A натурального числа a, a₁ < a < a_n, укажет ближайшее к нему снизу и ближайшее сверху числа из A.

1.5. На схеме изображена сеть дорог, соединяющих некоторые населенные пункты. Изучая ее, некто заметил, что из каждого пункта исходит четное число дорог. Впоследствии он сообразил, что, отправившись из любого пункта, он мог бы вернуться в него, проехав по каждой дороге схемы точно один раз. Приведите его возможные доводы на этот счет.

Вторая серия задач

2.1. Докажите, что при любом целом n выражение n⁵ – n делится на 30.

2.2. Попробуйте так же, как в 1.2, «зашифровать» слова ТРАМВАЙ, ОПЕРАЦИЯ, ПОЛОТЕНЦЕ, КУРИЦА (для каждого из них достаточно двух слов).

2.3 (Алфавитная замена). Криптограмма получается из открытого текста взаимно однозначной заменой букв алфавита на буквы другого алфавита. Зная, что Holmes шифруется как ТЛОНХЗ, восстановите исходный текст –
ЖЛ ЗЖИСДХ ЩМЦ ЗХХП,
ЖЛ ФСМЦ ЩМЦ МЛЖ ЖЛ БСХОЦ.
Назовите автора этого знаменитого девиза и год, когда он был провозглашен.

2.4. Выписаны две последовательности натуральных чисел, в каждой из которых соседние члены разделены дефисом. Составьте программу, которая позволила бы установить, не получены ли эти последовательности разбиениями на части одного и того же числа.

2.5. На схеме изображена сеть дорог, соединяющих некоторые населенные пункты. Изучая ее, некто заметил, что из каждого пункта исходит нечетное число дорог. Впоследствии он не мог вспомнить, тринадцать или четырнадцать пунктов изображены на схеме. А вы как думаете: тринадцать или четырнадцать?

Третья серия задач

3.1. Дана функция  . Докажите, что f (5) = 1.

3.2. «Ямщик поскакал, но всё поглядывал на восток. Лошади бежали дружно. Ветер между тем час от часу становился сильнее. Облачко обратилось в белую тучу, которая тяжело подымалась, росла и постепенно облегала небо. Пошёл мелкий снег – и вдруг повалил хлопьями. Ветер завыл; сделалась метель».
Здесь зашифровано название города: 12 55 61 74 81.
Попробуйте его расшифровать, если известно, что в каждой группе первая цифра обозначает номер слова, а вторая – номер буквы в нем. Считать следует только те слова, которые начинаются с непарного звонкого согласного. Из какого произведения взят отрывок?

3.3 (Шифровальная таблица). Предложите два разных способа шифрования с использованием таблицы

Найдите соответствующие криптограммы для кто ищет, тот всегда найдёт.

3.4. Дана некоторая последовательность натуральных чисел a₁, a₂, … , a_n. Между этими числами требуется вставить знаки "+", "-" так, чтобы сумма имела наименьшее возможное положительное значение. Составьте программу для нахождения такой расстановки знаков "+", "-".

3.5. Для четырех населённых пунктов некто построил сеть дорог такую, что
1) любые два пункта соединены единственной дорогой;
2) никакие две дороги не пересекаются.
Впоследствии он решил спроектировать аналогичную сеть дорог для большего числа пунктов. Убедите его в том, что этот план нереализуем.

Четвертая серия задач

4.1. Периметр прямоугольного треугольника равен 60, а длина высоты, опущенной на гипотенузу, равна 12. Найдите стороны треугольника.

4.2 (Омофоны). Для каждой из следующих пар слов придумайте две фразы, показывающие смысловое различие этих слов.
КОБЧИК – КОПЧИК, ВПЕРЕМЕЖКУ – ВПЕРЕМЕШКУ, ИЗМОРОЗЬ – ИЗМОРОСЬ.
Приведите еще несколько примеров русских слов, одинаковых в произношении, но имеющих разное написание.

4.3 (Шифр Альберти). Буквы алфавита записываются в некотором измененном порядке. Шифрование осуществляется заменой каждой буквы на букву, стоящую на ее месте в «перемешанном» алфавите. Ключом шифра обычно является некоторое слово, позволяющее запомнить способ перемешивания алфавита. Известно, что на ключе (земляника, яблочный джем) слово БАРБАРОССА шифруется как ЕЯПБЗИЙКРЯ. Из криптограммы
ЕЩСЪ АМА ВН БЪПЫ – ЛЙП М ФНА МГОИЙК
восстановите исходный текст. Назовите автора этих знаменитых слов и год, когда они были написаны.

4.4. Пусть (a₁, a₂, … , a_n) – перестановка чисел 1, 2, …, n. Инверсией в ней называется пара (a_i, a_j) такая, что i < j и a_i > a_j. Таблицей инверсий для данной перестановки называется последовательность (α1, α2, … , α_n), где α_k – число инверсий, у которых второй элемент равен k. Согласно М. Холлу, перестановка однозначно восстанавливается по ее таблице инверсий. Составьте программу, которая для заданной перестановки строила бы ее таблицу инверсий.

4.5. На схеме изображена сеть прямолинейных дорог между поселениями АЛАЙ, БЕРЕЗОВКА, ЛОХ, МАМОНОВО, ПЕРЕЛАЗ, РЕПНОЕ, СОДОМ, ЯР. Изучая её, некто заметил, что чем больше букв в названии населенного пункта, тем больше дорог из него исходит. Докажите, что при подсчете букв и дорог были допущены ошибки.