Первая серия задач
1.1. На белом квадратном холсте со стороной 2016 художник изобразил некоторое количество черных прямоугольников. Покажите, как можно на этой картине отыскать две точки одного цвета (черные или белые), расстояние между которыми равнялось бы 2016.
1.2. Назовите пять слов, каждое из которых воспринималось бы как существительное и как глагол.
1.3. Ключ шифра меняют шесть раз в неделю. В понедельник сообщение, зашифрованное на ключе автор, было получено в виде ПОЧЛУ НЕНЫЕ ЕЕВСД ПИЯОН РДТЕВ ЫЕДЖН. В пятницу тот же текст на ключе тавро был бы представлен криптограммой ЧПОУЛ ЕННЕЫ СВЕЕД ИОЯПН ВРТДЕ НДЕЫЖ. Восстановите исходный текст и зашифруйте предназначенное для передачи в среду донесение «объект приезжает в субботу вечером».
1.4. Дан некоторый набор A натуральных чисел a1 > a2 > … > an. Составьте программу, которая для любого не входящего в A числа a, a1 > a > an, укажет номер, который a получило бы при включении в заданную последовательность.
1.5 (Гамильтонов цикл). Выбрав некоторую вершину додекаэдра, проложите маршрут по его ребрам, который позволит посетить каждую вершину в точности один раз и вернуться в исходную. Удастся ли вам проделать аналогичное путешествие по ребрам других правильных многогранников?
Вторая серия задач
2.1. Найдите наименьшее натуральное число, половина которого является точным квадратом, а треть – кубом.
2.2. Приведите пример слова максимальной длины, полученного из другого слова удвоением некоторой согласной (как, например, баЛ - баЛЛ).
2.3 (Пятиконечная звезда). Буквы открытого текста последовательно по часовой стрелке вписываются в вершины правильного многоугольника. Криптограмма получается выписыванием букв вдоль некоторого непрерывного маршрута по его диагоналям. Зная, что при шифровании использовался правильный пятиугольник, восстановите исходный текст по криптограмме СЕИМН ЕФШТИ РАЧНС ТТАИЮ.
2.4. Пары натуральных чисел (x, y), 1 ≤ x ≤ y ≤ n, расположены в ряд таким образом, что (a, b) лежит левее (c, d), если a < c или же a = c и b < d. Составьте программу, которая для предложенной пары (x, y) в выстроенной последовательности выдавала бы номер занимаемого ею места.
2.5. Каждая из сторон и диагоналей правильного многоугольника окрашена в красный или зеленый цвет. При этом оказалось, что некоторые две вершины невозможно соединить маршрутом, состоящим только из красных отрезков. Докажите, что это можно сделать, используя только зеленые отрезки.
Третья серия задач
3.1. Докажите, что если к произведению любых четырех последовательных целых чисел прибавить единицу, то получится полный квадрат.
3.2. Найдите слово максимальной длины, составленное из букв, идущих в русском алфавите подряд (как, например, КИЙ).
3.3. По соглашению, в русских текстах буква ё отождествляется с е, буква й заменяется на и, а буквы ъ и ь – на апостроф (надстрочная запятая). Шифровальная таблица имеет вид
Зная, что с ее помощью слово сообщение преобразуется в ДМЫЛЯУЗТВ, восстановите исходный текст из криптограммы ЮТЛЦЫ ЭХЮГУ ЗАСУЦ ЮОТДЫ ЫСЫЛН АЯТЧП ГЮЛМК ОХРГТ.
3.4 (см. задачу 2.4). Составьте программу, которая для произвольного числа k, 1 ≤ k ≤ n (n + 1)/2, находила бы пару с номером k в указанной последовательности.
3.5. Пятнадцать точек расположены на окружности и каждая из них соединена прямолинейными отрезками не менее чем с семью другими. Докажите, что двигаясь по имеющимся отрезкам, можно пройти из любой точки в любую другую.
Четвертая серия задач
4.1. Докажите, что квадрат любого простого числа, большего 3, имеет вид 24k + 1 при подходящем целом k ≥ 1.
4.2. Укажите два существительных в именительном падеже единственного числа такие, что в одном из них имеется буква А, а другое получается из него заменой А на Б. Подберите аналогичную пару слов для любых двух из букв Ц, Ч, Ш, Щ.
4.3. Буквы русского алфавита (без ё) разбиты на две равные группы и пронумерованы в каждой группе от 1 до 16. Шифрование осуществляется заменой буквы открытого текста на букву с тем же номером из другой группы. Зная ключ шифра Пророк Духовной жаждою томим, расшифруйте криптограмму УОЗГО ЬЙЯХГ ЪЦОРЕ ЗДЫНО.
4.4. Числа Фибоначчи – это элементы последовательности, в которой первые два числа равны 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … . Составьте программу, которая для заданного целого n ≥ 1 выдавала бы n-й член последовательности Фибоначчи.
4.5 (Эйлеров цикл). Покажите, как, отправившись из произвольной вершины октаэдра, можно пройти по каждому его ребру в точности один раз и вернуться в исходную вершину. Докажите, что аналогичная прогулка по ребрам любого другого правильного многогранника невозможна.